Doorbuiging berekenen

Voor het ontwerpen van onderdelen van producten is het van belang dat de onderdelen de belasting aankunnen die ze tijdens gebruik ondervinden. Vaak worden onderdelen té sterk gemaakt (overdimensionering). Dit is vaak nergens voor nodig en zelfs onwenselijk. Producten worden groter, zwaarder en misschien zelfs lelijker dan ze hadden kunnen zijn. In dit artikel wordt beschreven hoe onderdelen ontworpen kunnen worden op basis van doorbuiging. Dit kan op twee manieren:

1. Eerst het materiaal kiezen en aan de hand daarvan de maximale doorbuiging berekenen.
2. Een maximale doorbuiging kiezen en aan de hand daarvan de materiaaleisen berekenen.

De eerste methode is bruikbaar om een bestaande constructie door te rekenen. De tweede methode is handiger bij het ontwerpen van een nieuwe constructie. De tweede methode is ook een methode waarbij steeds wordt teruggekoppeld: zijn er wel materialen die aan de gekozen maximale doorbuiging voldoen? Zijn deze niet te duur? Past het wel bij mijn product? Soms blijkt dat het onderdeel beter een andere vorm kan krijgen om met een minder sterk (maar goedkoper) materiaal dezelfde maximale doorbuiging te verkrijgen.

Belastingsituaties

Afhankelijk van hoe een onderdeel belast wordt, gelden er verschillende formules voor de doorbuiging. Deze formules zijn hieronder uitgewerkt. De betekenis en eenheid van elke parameter staan in de tabel Parameters en betekenissen bij dit artikel.

Reken in één samenhangende set eenheden: N, mm, N/mm, N/mm² en mm⁴. Dan komt de doorbuiging f uit in mm en het moment M in Nmm.

Situatie 1 - Puntbelasting in het midden bij dubbele oplegging

Maximaal moment

M = \frac{P \cdot L}{4}

Doorbuiging

f = \frac{P \cdot L^{3}}{48 \cdot E \cdot I}

Situatie 2 - Puntbelasting uit het midden bij dubbele oplegging

Maximaal moment

M = \frac{P \cdot a \cdot b}{L}

Het maximale moment ligt onder de last. De maximale doorbuiging ligt daar niet: die zit tussen de last en het midden, in het langste deel van de ligger. Daarom staan er hieronder twee formules.

Doorbuiging

Onder de last:

f = \frac{P \cdot a^{2} \cdot b^{2}}{3 \cdot E \cdot I \cdot L}

Maximaal, met b de kleinste van de twee afstanden en x gemeten vanaf de oplegging aan de kant van a:

f_{\mathrm{max}} = \frac{P \cdot b \cdot \left(L^{2} - b^{2}\right)^{3/2}}{9\sqrt{3} \cdot E \cdot I \cdot L} \qquad \text{met} \qquad x = \sqrt{\frac{L^{2} - b^{2}}{3}}

Situatie 3 - Puntbelasting op het uiteinde bij enkele inklemming

Maximaal moment

M = P \cdot L

Doorbuiging

f = \frac{P \cdot L^{3}}{3 \cdot E \cdot I}

Situatie 4 - Gelijkmatig verdeelde belasting bij dubbele oplegging

Maximaal moment

M = \frac{q \cdot L^{2}}{8}

Doorbuiging

f = \frac{5 \cdot q \cdot L^{4}}{384 \cdot E \cdot I}

Situatie 5 - Driehoekig verdeelde belasting bij dubbele oplegging

Maximaal moment

q is hier de grootste waarde van de belasting, aan het zwaarst belaste uiteinde.

M = \frac{q \cdot L^{2}}{9\sqrt{3}} \approx 0{,}0642 \cdot q \cdot L^{2} \qquad \text{op} \qquad x = \frac{L}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577 \cdot L

Doorbuiging

f = 0{,}00652 \cdot \frac{q \cdot L^{4}}{E \cdot I} \qquad \text{op} \qquad x \approx 0{,}519 \cdot L

Situatie 6 - Gelijkmatig verdeelde belasting bij enkele inklemming

Maximaal moment

M = \frac{q \cdot L^{2}}{2}

Doorbuiging

f = \frac{q \cdot L^{4}}{8 \cdot E \cdot I}

Situatie 7 - Gelijkmatig verdeelde belasting bij dubbele inklemming

Maximaal moment

M_{\mathrm{inklemming}} = \frac{q \cdot L^{2}}{12} \qquad M_{\mathrm{veld}} = \frac{q \cdot L^{2}}{24}

Doorbuiging

f = \frac{q \cdot L^{4}}{384 \cdot E \cdot I}

Situatie 8 - Puntbelasting in het midden bij dubbele inklemming

Maximaal moment

M = \frac{P \cdot L}{8}

Doorbuiging

f = \frac{P \cdot L^{3}}{192 \cdot E \cdot I}

Oppervlaktetraagheidsmoment

Niet te verwarren met het massatraagheidsmoment. Hoe hoger het oppervlaktetraagheidsmoment, hoe stijver de constructie: de elasticiteitsmodulus kan dan lager zijn voor dezelfde doorbuiging. Doorbuiging gaat over stijfheid, niet over sterkte. Voor sterkte kijk je naar het weerstandsmoment W = I/e, met e de afstand van de neutrale lijn tot de buitenste vezel. Daarover gaat mijn artikel over interne spanningen. Zie de Wikipedia-pagina voor meer informatie.

Wat te doen met complexe vormen?

De meeste producten/onderdelen hebben geen rechthoekige vorm en worden niet blootgesteld aan een perfect verdeelde belasting. Bovenstaande modellen dienen puur als leidraad. Het is raadzaam om een onderdeel niet precies sterk genoeg te maken op basis van bovenstaande modellen. Het is gebruikelijk om een veiligheidsfactor van minimaal 1,5 te hanteren.

Als er op doorbuiging wordt berekend, is het raadzaam om de veiligheidsfactor toe te passen op de kracht die op het onderdeel werkt. Een anderhalf keer grotere kracht vraagt bij dezelfde doorbuiging om een anderhalf keer zo groot oppervlaktetraagheidsmoment. De afmetingen groeien daarbij niet evenredig mee: voor een rechthoekige doorsnede met breedte b en hoogte h is I = b·h³/12. Anderhalf keer zoveel I betekent dus anderhalf keer zo breed, óf maar 1,5^1/3 ≈ 1,14 keer zo hoog. Juist daarom loont het om de vorm te optimaliseren.

Let op: pas de veiligheidsmarge altijd toe op krachten, niet op dimensies.

Interne spanningen berekenen

Krachten zorgen niet alleen voor doorbuiging, maar ook voor interne spanningen. Deze interne spanningen kunnen dusdanig hoog worden dat een onderdeel daarop faalt. Ook als de berekende doorbuiging laag is. Als je wilt uitsluiten dat het onderdeel faalt bij bepaalde krachten, raad ik je aan om mijn artikel over interne spanningen te lezen.

Zelf rekenen