Interne spanningen

Als er krachten op een product werken, ontstaan er interne spanningen. Blijven die binnen de grenzen van het materiaal, dan faalt het product niet. Gaan ze eroverheen, dan treedt lokaal blijvende schade op. Reden genoeg om ze vooraf uit te rekenen.

Bij polymeren speelt bovendien kruip: onder langdurige belasting vervormt het materiaal door, ook als de spanning netjes onder de grens blijft.

Twee soorten spanning

Interne spanningen vallen in twee groepen. Normaalspanning werkt loodrecht op een vlak en krijgt de letter sigma, σ. Schuifspanning werkt langs een vlak en krijgt de letter tau, τ.

Het blokje is een uitsnede uit het product, op de plek waar je de hoogste spanning verwacht. Je komt het in dit artikel nog een paar keer tegen.

Waar de spanning vandaan komt

Normaalspanning ontstaat door trek en druk, maar ook door buiging. Schuifspanning ontstaat door dwarskracht en door torsie. Elk van die vier geeft een eigen verdeling over de doorsnede:

Alleen bij zuivere trek of druk is de spanning overal gelijk. Bij buiging is hij nul op de neutrale lijn en maximaal aan de buitenkant: de ene zijde wordt op trek belast, de andere op druk. Bij dwarskracht is het omgekeerd, met het maximum op de neutrale lijn en nul aan de randen. Bij torsie loopt hij op van nul in het hart tot maximaal aan de buitenrand.

Bij druk op een lange, slanke staaf komt er nog iets bij: die kan zijdelings uitknikken lang voordat de spanning de vloeigrens haalt. Daarover gaat mijn artikel over knik.

Dat verschil is de reden dat één getal per doorsnede niet genoeg is. Waar je de uitsnede neemt, bepaalt wat je vindt.

Een uitsnede kiezen

Als je weet waar de krachten aangrijpen, kun je meestal beredeneren waar de spanningen het hoogst zijn. Neem als voorbeeld een deurklink: een product waar alle vier de soorten in voorkomen.

De uitsnede komt op de plek waar het buigmoment en de torsie het grootst zijn: bij de bevestiging aan de deur. Op dat vlak lichten we twee punten uit.

Die keuze is niet willekeurig. In punt A is de buigspanning maximaal en de dwarskrachtspanning nul. In punt B precies andersom. De torsiespanning is in beide punten maximaal, want ze liggen allebei op de buitenrand. Met deze twee punten heb je dus alle maxima te pakken.

De formules

Voor een ronde doorsnede:

\begin{aligned}
A &= \pi r^{2} \\[2pt]
I &= \frac{\pi r^{4}}{4} \\[2pt]
J &= \frac{\pi r^{4}}{2} = 2I
\end{aligned}

De vier spanningen:

\sigma = \frac{F}{A}

\sigma = \frac{M \cdot y}{I}

\tau_{\mathrm{gem} } = \frac{F}{A} \qquad\text{en voor een ronde doorsnede}\qquad \tau_{\mathrm{max} } = \frac{4}{3} \cdot \frac{F}{A}

\tau = \frac{T \cdot r}{J}

Let op die eerste schuifspanningsformule. F/A is het gemiddelde over de doorsnede, niet het maximum. Op de neutrale lijn ligt de piek hoger: bij een massieve ronde doorsnede 4/3 keer zo hoog, bij een rechthoek 3/2 keer, bij een dunwandige buis ongeveer twee keer.

\begin{aligned}
\sigma &= \text{normaalspanning} && [\mathrm{N/mm^{2}}] \\
\tau &= \text{schuifspanning} && [\mathrm{N/mm^{2}}] \\
F &= \text{kracht of dwarskracht} && [\mathrm{N}] \\
A &= \text{oppervlakte van de doorsnede} && [\mathrm{mm^{2}}] \\
M &= \text{buigend moment} && [\mathrm{N\,mm}] \\
T &= \text{torsiemoment} && [\mathrm{N\,mm}] \\
y &= \text{afstand tot de neutrale lijn} && [\mathrm{mm}] \\
r &= \text{afstand tot het hart} && [\mathrm{mm}] \\
I &= \text{oppervlaktetraagheidsmoment} && [\mathrm{mm^{4}}] \\
J &= \text{polair traagheidsmoment} && [\mathrm{mm^{4}}] \\
f_y &= \text{vloeigrens} && [\mathrm{N/mm^{2}}]
\end{aligned}

Reken alles in N en mm. Dan komen de spanningen direct in N/mm², wat hetzelfde is als MPa, en hoef je nergens om te rekenen. Door elkaar gebruiken van meters en millimeters is de meest voorkomende manier om er een factor duizend naast te zitten.

Uitwerking van de deurklink

Een ronde klink van 20 mm diameter, met een kracht van 100 N op het uiteinde. De steel van 100 mm is de buigarm, de greep van 150 mm de torsiearm.

Buiging

Maximaal in punt A:

\sigma = \frac{100 \cdot 100 \cdot 10}{\frac{\pi \cdot 10^{4}}{4}} = 12{,}7\ \mathrm{N/mm^{2}} = 12{,}7\ \mathrm{MPa}

Wil je ook weten hoeveel de klink doorbuigt, dan vind je dat in mijn artikel over doorbuiging.

Dwarskracht

Maximaal in punt B:

\tau_{\mathrm{max} } = \frac{4}{3} \cdot \frac{100}{\pi \cdot 10^{2}} = 0{,}42\ \mathrm{N/mm^{2}} = 0{,}42\ \mathrm{MPa}

Torsie

Maximaal op de hele buitenrand, dus in beide punten:

\tau = \frac{100 \cdot 150 \cdot 10}{\frac{\pi \cdot 10^{4}}{2}} = 9{,}55\ \mathrm{N/mm^{2}} = 9{,}55\ \mathrm{MPa}

Optellen mag niet zomaar

Normaalspanningen die op hetzelfde vlak loodrecht staan, mag je gewoon bij elkaar optellen. Bij schuifspanningen ligt het anders: dat zijn vectoren, en optellen mag alleen als ze op hetzelfde vlak in dezelfde richting werken.

In punt B is dat toevallig het geval. De torsiespanning staat raaklijnig aan de omtrek, en dat is daar dezelfde richting als de dwarskrachtspanning — maar alleen aan één kant van de doorsnede. Aan de overkant staan ze tegengesteld en trek je ze juist van elkaar af. Je rekent dus met de ongunstigste kant:

Combineren met Mohr

Nu heb je per punt een normaalspanning en een schuifspanning, maar nog niet de maximale schuifspanning in dat punt. Die vind je met de cirkel van Mohr, en voor dit geval is dat één formule:

\tau_{\mathrm{max} } = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2} + \tau^{2}}

\begin{aligned}
\tau_{\mathrm{max,A} } &= \sqrt{\left(\tfrac{12{,}7}{2}\right)^{2} + 9{,}55^{2}} = 11{,}5\ \mathrm{MPa} \\[2pt]
f_y &\geq 2 \cdot 11{,}5 = 23\ \mathrm{MPa}
\end{aligned}

Voor punt B komt daar 9,97 MPa uit, want daar is de normaalspanning nul.

Let op wat hier gebeurt. Kijk je alleen naar de schuifspanningen, dan lijkt punt B het zwaarst belast: 9,97 tegen 9,55. Pas als je de buigspanning meeneemt, tilt punt A eroverheen naar 11,5 MPa. Zonder die stap zou je het verkeerde punt maatgevend noemen.

Welke vloeigrens heb je nodig

Met de maximale schuifspanning kun je het Tresca-criterium toepassen: het materiaal vloeit zodra de maximale schuifspanning de helft van de vloeigrens bereikt.

f_y \geq 2 \cdot \tau_{\mathrm{max} }

Voor de deurklink: 2 × 11,5 = 23 MPa. Vrijwel elk constructiemateriaal haalt dat ruimschoots — S235-staal zit op 235 MPa, dus ruim tien keer zoveel marge.

Tresca is aan de veilige kant. Von Mises is iets minder streng en sluit beter aan op wat taaie metalen in de praktijk doen:

\sigma_{\mathrm{v} } = \sqrt{\sigma^{2} + 3\tau^{2}} \leq f_y

Voor punt A geeft dat 20,9 MPa tegen de 23 van Tresca. Dat verschil is klein; het loopt op tot ongeveer 15 % bij zuivere schuifspanning.

Zelf rekenen

Spanningstensor

Om alle spanningen in een punt in één keer op te schrijven bestaat de spanningstensor. Daarover meer in mijn artikel over de spanningstensor.

Voor de deurklink, met de assen uit de maatschets (x langs de steel, z omhoog), zien de spanningstensoren van punt A en B er zo uit:

T_A = \begin{bmatrix} 12{,}7 & 9{,}55 & 0 \\ 9{,}55 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}

T_B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -9{,}97 \\ 0 & 0 & 0 \\ -9{,}97 & 0 & 0 \end{bmatrix}\ \mathrm{MPa}

In punt A staat de buigspanning op het x-vlak in de x-richting, en de torsie op het x-vlak in de y-richting. In punt B werken torsie en dwarskracht allebei in de z-richting, daarom staan ze daar opgeteld op één plek. Het minteken betekent dat die spanning tegen de z-as in werkt: de klink trekt het snijvlak naar beneden. En de tensor is altijd symmetrisch: τ_yx is gelijk aan τ_xy.