Luchtweerstand berekenen en optimaliseren

Luchtweerstand is de kracht waarmee de lucht een bewegend voorwerp tegenwerkt. Hoe sneller het gaat, hoe groter die kracht — en wel sneller dan je zou denken.

F_l = \tfrac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^{2} \cdot A \cdot C_w

Het frontaal oppervlak

A is de schaduw die het voorwerp werpt op een vlak loodrecht op de bewegingsrichting. Niet het totale oppervlak, en niet de doorsnede op het dikste punt in een willekeurige richting.

Dat onderscheid is de reden dat een fietser in de beugels zoveel wint: de massa blijft gelijk, de vorm ongeveer ook, maar de schaduw wordt kleiner.

De snelheid is relatief

v is de snelheid ten opzichte van de lucht, niet ten opzichte van de grond. Fiets je 30 km/h met 20 km/h tegenwind, dan rekent de formule met 50. Dat is precies waarom tegenwind zo onevenredig zwaar voelt: de kracht gaat niet met een derde omhoog maar met een factor 2,8.

Het vermogen: de derde macht

De kracht loopt met het kwadraat van de snelheid op. Maar om die kracht te overwinnen moet je arbeid leveren, en vermogen is kracht maal snelheid:

P = F_l \cdot v = \tfrac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^{3} \cdot A \cdot C_w

Daar staat de derde macht. Twee keer zo snel is vier keer zoveel kracht en acht keer zoveel vermogen.

\begin{aligned}
\frac{F_2}{F_1} &= \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{2} \\[2pt]
\frac{P_2}{P_1} &= \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{3}
\end{aligned}

Let op het woord: dit is kwadratisch en kubisch, niet exponentieel. Bij exponentiële groei zit de snelheid in de exponent en ligt de verhouding niet vast. Hier wel, en dat is juist wat de formule bruikbaar maakt: twee keer zo snel is altijd acht keer zoveel vermogen, of je nu van 10 naar 20 of van 100 naar 200 gaat.

Een voorbeeld

Een fietser rechtop, met een frontaal oppervlak van ongeveer 0,4 m² en een C_w van ongeveer 0,9, bij 30 km/h (8,33 m/s) op zeeniveau:

F_l = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}225 \cdot 8{,}33^{2} \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}9 = 15{,}3\ \mathrm{N}

P = 15{,}3 \cdot 8{,}33 = 128\ \mathrm{W}

Ruim honderdtwintig watt, dat fietst een geoefende amateur een uur lang vol. Verdubbel de snelheid naar 60 km/h en je zit op ruim 1000 watt — dat houdt vrijwel niemand langer dan een halve minuut vol. Daar zit het hele verschil tussen hard fietsen en heel hard fietsen.

De weerstandscoëfficiënt

C_w zegt hoe goed de vorm de lucht om zich heen laat stromen. Bij dezelfde frontale oppervlakte scheelt dat enorm:

Een vlakke plaat en een druppelvorm met precies hetzelfde frontaal oppervlak verschillen ruim een factor dertig. Het grootste deel van de weerstand ontstaat namelijk niet vóór het voorwerp maar erachter, waar de stroming loslaat en een zog met onderdruk achterblijft. Een lange, geleidelijk aflopende achterkant voorkomt dat loslaten. Vandaar dat een druppel stomp vooraan is en spits achteraan, en niet andersom.

Waarden voor meer vormen staan in de tabel bij Weerstandscoëfficiënt op Wikipedia.

De dichtheid van het medium

De luchtdichtheid op zeeniveau is 1,225 kg/m³ bij 15 °C, de waarde uit de internationale standaardatmosfeer. Bij 0 °C is het 1,292 en bij 20 °C 1,204. Zeven procent verschil, en dat werkt recht evenredig door in de kracht.

Hoogte doet meer: op 3000 meter is de lucht nog 0,909 kg/m³, een kwart minder dan op zeeniveau. Daarom worden snelheidsrecords graag hoog gereden, en daarom haalt een vliegtuig op kruishoogte zoveel meer snelheid voor hetzelfde vermogen.

In een vacuüm is ρ nul en is er geen weerstand, hoe snel je ook gaat.

De formule geldt niet alleen voor lucht. Water heeft een dichtheid van ongeveer 998 kg/m³, ruim achthonderd keer die van lucht — vandaar dat zwemmen bij dezelfde snelheid onvergelijkbaar veel zwaarder is.

Eindsnelheid

Val je door de lucht, dan groeit de weerstand tot hij het gewicht precies opheft. Vanaf dat moment versnel je niet meer:

v_{\mathrm{eind} } = \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot g}{\rho \cdot A \cdot C_w}}

Voor een parachutist van 80 kg die plat valt, met ongeveer 0,7 m² frontaal oppervlak en C_w rond 1,0:

v_{\mathrm{eind} } = \sqrt{\frac{2 \cdot 80 \cdot 9{,}81}{1{,}225 \cdot 0{,}7 \cdot 1{,}0}} = 42{,}8\ \mathrm{m/s} = 154\ \mathrm{km/h}

Gestrekt naar beneden duiken maakt het frontaal oppervlak ongeveer vier keer kleiner, en de eindsnelheid dus ongeveer twee keer hoger.

Wanneer geldt deze formule niet

C_w is geen vaste eigenschap van een vorm. Hij hangt af van het getal van Reynolds, en dus van de snelheid, de grootte van het voorwerp en de eigenschappen van het medium. Voor alledaagse voorwerpen in lucht bij normale snelheden is de waarde redelijk stabiel en kun je met een tabelwaarde rekenen.

Bij heel kleine of heel langzame voorwerpen gaat het mis. Een stofdeeltje dat door de lucht dwarrelt ondervindt een weerstand die evenredig is met v in plaats van met v², en daar geldt de wet van Stokes in plaats van deze formule. Rond de geluidssnelheid verandert het verhaal opnieuw, omdat de lucht dan samendrukbaar wordt.

Optimaliseren

Alles bij elkaar: wil je weerstand kwijt, dan heb je vier knoppen, maar ze zijn niet even krachtig.

• Snelheid telt kwadratisch in de kracht en kubisch in het vermogen. Dit is verreweg de grootste knop, maar meestal ook degene die je niet wilt verkleinen.
• Frontaal oppervlak telt lineair. Kleiner maken is vaak het makkelijkst: ga anders zitten, maak het smaller.
• Weerstandscoëfficiënt telt ook lineair, maar kan een factor dertig schelen. Hier zit de meeste winst per kilo.
• Dichtheid telt lineair en ligt meestal vast, tenzij je de hoogte kunt kiezen.

Zelf rekenen